子供の勉強用に、日本から何を持っていけば良いでしょうか?

辞書は持っていくべきだと思います。例えば、英語で勉強する環境に行かれるのでしたら、英和・和英辞書は必須です。問題集や参考書などは、特に必要だとは思いません。日本語を忘れてしまうとか、日本の勉強に遅れてしまう、ということは仕方のないことです。

それに憂える前に、現地の言葉の習得に力を注ぎ、現地の勉強に一日も早くついて行けるようにすることが先決でしょう。そうした人の成功例のほうが圧倒的に多いです。